Formulario transformada z

Retroalimentación

La idea básica que ahora se conoce como transformación Z era conocida por Laplace, y fue reintroducida en 1947 por W. Hurewicz[1][2] y otros como una forma de tratar los sistemas de control de datos muestreados utilizados con el radar. Proporciona una forma manejable de resolver ecuaciones en diferencias lineales de coeficiente constante. Más tarde, Ragazzini y Zadeh la denominaron “la transformación Z” en el grupo de control de datos muestreados de la Universidad de Columbia en 1952[3][4].

La idea contenida en la transformación Z también se conoce en la literatura matemática como el método de las funciones generadoras, que se remonta a 1730, cuando fue introducido por de Moivre en relación con la teoría de la probabilidad[7].

donde C es un camino cerrado en sentido contrario a las agujas del reloj que rodea el origen y se encuentra completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso de que la ROC sea causal (véase el ejemplo 2), esto significa que la trayectoria C debe rodear todos los polos de

es estable, es decir, cuando todos los polos están dentro del círculo unitario. Con este contorno, la transformada Z inversa se simplifica a la transformada de Fourier inversa en tiempo discreto, o serie de Fourier, de los valores periódicos de la transformada Z alrededor del círculo unitario:

Formulario transformada z en línea

A veces se plantea el problema de hacer comparables dos muestras, es decir, de comparar los valores medidos de una muestra con respecto a su posición (relativa) en la distribución. Una ayuda muy utilizada es la transformación z, que convierte los valores de una muestra en puntuaciones z:

La transformación z también se denomina estandarización o autoescalado. Las puntuaciones z se hacen comparables midiendo las observaciones en múltiplos de la desviación estándar de esa muestra. La media de una muestra transformada en z es siempre cero. Si la distribución original es normal, los datos transformados en z pertenecen a una distribución normal estándar (μ=0, s=1).

El siguiente ejemplo demuestra el efecto de la normalización de los datos. Supongamos que tenemos dos distribuciones normales, una con una media de 10,0 y una desviación estándar de 30,0 (arriba a la izquierda), y la otra con una media de 200 y una desviación estándar de 20,0 (arriba a la derecha). La normalización de ambos conjuntos de datos da como resultado distribuciones comparables, ya que ambas distribuciones transformadas en z tienen una media de 0,0 y una desviación estándar de 1,0 (fila inferior).

Notas de la transformación z

{\_displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{zt}}{z-a},=,{\frac {\mathrm{e}}{z-a} suma _{n=0}^{infty}{frac {((z-a)t)^{n}{n!}} ^{at}{suma _{n=0}^{infty}{frac {(z-a)^{n-1}{cdot t^{n}{n!}}

Después de establecer los cocientes de las diferencias en el cálculo de las diferencias de un sistema dinámico, los nuevos coeficientes se obtienen de los coeficientes del cálculo de las diferencias.

{\displaystyle y_{(k)} {{bigg (}{frac {0{,}25}{T_{mathrm {A}} {\frac {0{,}125}{T_{mathrm{A}}}+{\frac {0{,}125}{T_{mathrm{A}}} 1 {\bigg )}=u_(k)}+{\frac {0{,}5y_{(k-1)}}{T_{mathrm {A}}^{2}} {{frac {0{,}25y_{(k-2)}}{T_{mathrm {A}} {\frac {0{,}125y_{(k-1)}}{T_{mathrm {A}}. }}}.}

{\displaystyle y_(k)}={{frac {u_{(k)}}{lambda }}+{{frac {0{,}5y_{(k-1)}}{{lambda T_{mathrm {A}}. {{frac {0{,}25y_{(k-2)}} {{lambda T_{mathrm {A}} { {0{,}125y_{(k-1)}}{lambda T_{mathrm {A}} { {\bigg |}qquad \bambda = {\frac {0{,}25}{T_{mathrm {A}} + 0,125 T_mathrm {A} }}}+1}

Región de convergencia de la transformada z

Al igual que otras transformadas de Fourier, la transformada de Fourier en tiempo discreto traduce una señal de valor complejo x(k) en función del tiempo en un conjunto de números complejos que llevan la frecuencia y la fase de cada onda simple de la señal. La transformada de Fourier en tiempo discreto se utiliza cuando x(k) es discreta, pero no de duración finita y no periódica (alternativamente, se puede utilizar la transformada de Fourier continua o discreta). La transformada de Fourier en tiempo discreto suele considerarse como el resultado lógico del muestreo de la entrada de la transformada de Fourier continua x(t) en tiempo discreto x(n).

Alternativamente, la transformada de Fourier en tiempo discreto es simplemente la transformada Z con A = 1. Cuando A = 1, la base de la transformada se convierte en los números e-j ω k, que en el plano complejo forman un círculo de radio 1 alrededor del origen. Así, podemos decir que la transformada de Fourier en tiempo discreto es la transformada Z evaluada en el círculo unitario.

La motivación para utilizar la transformada de Fourier en tiempo discreto en el procesamiento de señales digitales es que nos permite utilizar una señal discreta, pero un conjunto continuo de frecuencias y fases. La motivación para utilizar la transformada Z en el procesamiento digital de señales en lugar de la transformada de Fourier en tiempo discreto es únicamente que reduce significativamente la notación. De hecho, en el procesamiento digital de señales siempre evaluaremos la transformada Z en el círculo unitario – con A = 1 – lo que significa que sólo utilizaremos realmente la transformada de Fourier en tiempo discreto y nunca utilizaremos su forma generalizada – la transformada Z. Sin embargo, utilizamos la notación de la transformada Z. Es mucho más fácil escribir z-k en lugar de e-j ω k.